Question

Chứng minh rằng nếu x, y là các số tự nhiên thỏa mãn x² + y² chia hết cho 2⁴ thì xy chia hết cho 16.

Answer 1

Lời giải:

Vì $x^2+y^2\vdots 2^4$ nên $x,y$ cùng tính chẵn lẻ.

Nếu $x,y$ cùng lẻ thì $x^2\equiv 1\pmod 8$ và $y^2\equiv 1\pmod 8$

$\Rightarrow x^2+y^2\equiv 2\pmod 8$

$\Rightarrow x^2+y^2\not\vdots 16$ (trái với giả thiết) 

Do đó: $x,y$ đều chẵn.

Đặt $x=2x_1, y=2y_1$ với $x_1,y_1\in\mathbb{N}$

Khi đó:

$x^2+y^2=4(x_1^2+y_1^2)\vdots 16$

$\Rightarrow x_1^2+y_1^2\vdots 4$

$\Rightarrow x_1,y_1$ cùng chẵn (lập luận như trên) 

Đặt $x_1=2x_2,y_1=2y_2$ với $x_2,y_2\in\mathbb{N}$

$\Rightarrow x=4x_2, y=4y_2$ với $x_2,y_2\in\mathbb{N}$

$\Rightarrow xy=4x_2.4y_2=16x_2y_2\vdots 16$ 

Ta có đpcm.