Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Ally

Chứng minh rằng : n5 -2011n chia hết cho 30 với n là số tự nhiên.

Akai Haruma
29 tháng 5 2020 lúc 0:17

Lời giải:

Ta có: $n^5-2011n=(n^5-n)-2010n$

$=n(n^4-1)-2010n=n(n^2-1)(n^2+1)-2010n$

$=n(n-1)(n+1)(n^2+1)-2010n$

Vì $n, n-1, n+1$ là 3 số nguyên liên tiếp nên chắc chắn tồn tại ít nhất 1 số chẵn, và tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho $3$

$\Rightarrow n(n-1)(n+1)(n^2+1)=n(n^2-1)(n^2+1)$ chia hết cho $2$ và chia hết cho $3$ $(*)$

Mặt khác, ta biết 1 số chính phương khi chia cho $5$ có thể có dư là $0,1,4$

Nếu $n^2$ chia $5$ dư $0$ thì $n\vdots 5\Rightarrow n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 5$

Nếu $n^2$ chia $5$ dư $1$ thì $n^2-1\vdots 5\Rightarrow n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 5$

Nếu $n^2$ chia $5$ dư $4$ thì $n^2+1\vdots 5\Rightarrow n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 5$ $(**)$

Từ $(**); (*)$ mà $(2,3,5)$ đôi một nguyên tố cùng nhau nên $n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 30$

Mà $2010n\vdots 30$ do $2010\vdots 30$

Do đó $n^5-2011n=n(n^2-1)(n^2+1)-2010n\vdots 30$

Ta có đpcm.

Tóm lại $n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 5$


Các câu hỏi tương tự
Hjhjhjhjhjhjhjhj
Xem chi tiết
Dương Thị Thu Ngọc
Xem chi tiết
Bolbbalgan4
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Linh
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Tuấn
Xem chi tiết
Huong Nguyenthi
Xem chi tiết
Le Chi
Xem chi tiết
Hạ Vũ
Xem chi tiết
Vũ Phương Thảo
Xem chi tiết