Xét ~~~~\(\left(a-\frac{1}{b}\right)\left(b-\frac{1}{c}\right)\left(c-\frac{1}{a}\right)\ge\left(a-\frac{1}{a}\right)\left(b-\frac{1}{b}\right)\left(c-\frac{1}{c}\right)\)\(\Leftrightarrow\frac{\left(ab-1\right)\left(bc-1\right)\left(ca-1\right)}{abc}\ge\frac{\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)}{abc}\)\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(bc-1\right)\left(ca-1\right)\ge\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)\)(Do a,b,c không nhỏ hơn 1 nên abc > 0)\(\Leftrightarrow a^2b^2c^2-\left(abc^2+ab^2c+a^2bc\right)+\left(ab+bc+ca\right)-1\ge a^2b^2c^2-\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+\left(a^2+b^2+c^2\right)-1\)\(\Leftrightarrow-\left(abc^2+ab^2c+a^2bc\right)+\left(ab+bc+ca\right)\ge-\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+\left(a^2+b^2+c^2\right)\)\(\Leftrightarrow2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)-2\left(abc^2+ab^2c+a^2bc\right)\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(ab+bc+ca\right)\)\(\Leftrightarrow\left(bc-ca\right)^2+\left(ab-bc\right)^2+\left(ca-ab\right)^2\ge\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\)\(\Leftrightarrow c^2\left(a-b\right)^2+b^2\left(a-c\right)^2+a^2\left(b-c\right)^2\ge\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\)\(\Leftrightarrow\left(c^2-1\right)\left(a-b\right)^2+\left(b^2-1\right)\left(a-c\right)^2+\left(a^2-1\right)\left(b-c\right)^2\ge0\)(Đúng do a,b,c không nhỏ hơn 1)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c hoặc (a,b,c) = (1,1,k) (k bất kì) và các hoán vị
