Question

chứng minh : nếu (\(a^2+b^2+c^2\)).\(\left(x^2+y^2+z^2\right)\)=\(\left(ax+by+cz\right)^2\) thì \(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\)

Answer 1

Lời giải:

Điều kiện: $x,y,z\neq 0$

$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax+by+cz)^2$
$\Leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2=a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2axby+2axcz+2bycz$

$\Leftrightarrow 

a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2=2axby+2axcz+2bycz$

$\Leftrightarrow (a^2y^2+b^2x^2-2axby)+(a^2z^2+c^2x^2-2axcz)+(b^2z^2+c^2y^2-2bycz)=0$

$\Leftrightarrow (ay-bx)^2+(az-cx)^2+(bz-cy)^2=0$

Do bản thân mỗi số $(ay-bx)^2; (az-cx)^2; (bz-cy)^2$ không âm với mọi $a,b,c,x,y,z$

Do đó để tổng của chúng bằng $0$ thì:

$(ay-bx)^2=(az-cx)^2=(bz-cy)^2=0$

$\Leftrightarrow ay=bx; az=cx; bz=cy$

$\Rightarrow \frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$

Ta có đpcm.