Question

chứng minh: \(\frac{a^4}{b\left(b+c\right)}+\frac{c^4}{a\left(a+b\right)}+\frac{b^4}{c\left(c+a\right)}\ge\)\(\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\)

Answer 1

Áp dụng BĐT AM-GM dạng mẫu số được 

\(\frac{a^4}{b\left(b+c\right)}+\frac{b^4}{c\left(c+a\right)}+\frac{c^4}{a\left(a+b\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(ab+bc+ac\right)}\)

Ta có : \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\) (dễ dàng chứng minh được)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac\ge2\left(ab+bc+ac\right)\) và \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\left(ab+bc+ac\right)^2\)

Do vậy \(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(ab+bc+ac\right)}\ge\frac{\left(ab+bc+ac\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}=\frac{ab+bc+ac}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c > 0