\(x^2+x+1=x^2+2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\)
\(=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)( luôn dương ) (1 )
\(x^2-x+1=x^2-2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\)
\(=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)( luôn dương ) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) => \(\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\ge\frac{3}{4}:\frac{3}{4}\ge1\)( luôn dương ) ( đpcm )
\(\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\)
=\(\frac{x^2+2.\frac{1}{2}.x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+1}{x^2-2.\frac{1}{2}.x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+1}\)
=\(\frac{\left(x+1\right)^2+\frac{3}{4}}{\left(x-1\right)^2+\frac{3}{4}}\)vì tử số và mẫu số luôn dương => với mọi x luôn dương
vừa nghĩ ra :
\(x^2\) luôn lớn hơn hoặc bằng x
=> \(x^2+x\) luôn lớn hơn hoặc bằng 0
=> \(x^2+x+1\)luôn lớn hơn hoặc bằng 1
=> \(x^2+x+1\) luôn dương (1)
\(x^2-x\)luôn lớn hơn hoặc bằng = 0
=> \(x^2-x+1\) luôn lớn hơn hoặc bằng 1
=> \(x^2-x+1\) luôn dương (2)
Từ (1) và (2) => đpcm
=
