Ta có: \(\sin x+\sin\left(x+\frac45\pi\right)\)
\(=2\cdot\sin\left(\frac{x+x+\frac45\pi}{2}\right)\cdot cos\left(\frac{x+\frac45\pi-x}{2}\right)=2\cdot\sin\left(x+\frac25\pi\right)\cdot cos\left(\frac25\pi\right)\)
Ta có: \(\sin\left(x+\frac{\pi}{5}\right)+\sin\left(x+\frac35\pi\right)\)
\(=2\cdot\sin\left(\frac{x+\frac{\pi}{5}+x+\frac35\pi}{2}\right)\cdot cos\left(\frac{x+\frac35\pi-x-\frac{\pi}{5}}{2}\right)\)
\(=2\cdot\sin\left(x+\frac25\pi\right)\cdot cos\left(\frac{\pi}{5}\right)\)
Ta có: \(Q=\sin x-\sin\left(x+\frac{\pi}{5}\right)+\sin\left(x+\frac25\pi\right)-\sin\left(x+\frac35\pi\right)+\sin\left(x+\frac45\pi\right)\)
\(=2\cdot\sin\left(x+\frac25\pi\right)\cdot cos\left(\frac25\pi\right)-2\cdot\sin\left(x+\frac25\pi\right)\cdot cos\left(\frac{\pi}{5}\right)+\sin\left(x+\frac25\pi\right)\)
\(=\sin\left(x+\frac25\pi\right)\left\lbrack2\cdot cos\left(\frac25\pi\right)-2\cdot cos\left(\frac{\pi}{5}\right)+1\right\rbrack\)
\(=\sin\left(x+\frac25\pi\right)\cdot\left\lbrack2\cdot\left(2\cdot cos^2\left(\frac{\pi}{5}\right)-1\right)-2\cdot cos\left(\frac{\pi}{5}\right)+1\right\rbrack\)
\(=\sin\left(x+\frac25\pi\right)\cdot\left\lbrack4\cdot cos^2\left(\frac{\pi}{5}\right)-2\cdot cos\left(\frac{\pi}{5}\right)-1\right\rbrack\)
Dựng ΔABC cân tại A, \(\hat{BAC}=36^0\) ; BC=1
Gọi BD là phân giác của góc ABC(D∈AC)
ΔABC cân tại A
=>\(\hat{ABC}=\hat{ACB}=\frac{180^0-\hat{BAC}}{2}=\frac{180^0-36^0}{2}=72^0\)
BD là phân giác của góc ABC
=>\(\hat{ABD}=\hat{DBC}=\frac12\cdot\hat{ABC}=36^0\)
Xét ΔBDC có \(\hat{BDC}+\hat{BCD}+\hat{DBC}=180^0\)
=>\(\hat{BDC}=180^0-36^0-72^0=72^0\)
Xét ΔDAB có \(\hat{DAB}=\hat{DBA}\left(=36^0\right)\)
nên ΔDAB cân tại D
=>DA=DB
Xét ΔBDC có \(\hat{BDC}=\hat{BCD}=72^0\)
nên ΔBDC cân tại B
=>BD=BC=1
=>DA=DB=BC=1
Kẻ DH⊥AB tại H
ΔDAB cân tại D
mà DH là đường cao
nên H là trung điểm của AB
=>HA=HB=x
Xét ΔHAD vuông tại H có cos A\(=\frac{AH}{AD}=x\)
=>\(cosA=\frac{x}{AD}=x\)
DA+DC=AC
=>DC=AC-DA=AB-DA=2x-1
AC=AD+DC=1+2x-1=2x
=>AB=2x
Xét ΔBAC có BD là phân giác
nên \(\frac{DC}{DA}=\frac{BC}{BA}\)
=>\(\frac{2x-1}{1}=\frac{1}{2x}\)
=>2x(2x-1)=1
=>\(4x^2-2x-1=0\)
=>\(x^2-\frac12x-\frac14=0\)
=>\(x^2-2\cdot x\cdot\frac14+\frac{1}{16}-\frac{5}{16}=0\)
=>\(\left(x-\frac14\right)^2=\frac{5}{16}\)
=>\(x-\frac14=\frac{\sqrt5}{4}\)
=>\(x=\frac{\sqrt5+1}{4}\)
=>\(cos36=\frac{\sqrt5+1}{4}\)
=>\(cos\left(\frac{\pi}{5}\right)=\frac{\sqrt5+1}{4}\)
\(4\cdot cos^2\left(\frac{\pi}{5}\right)-2\cdot cos\left(\frac{\pi}{5}\right)-1\)
\(\)\(=4\cdot\left(\frac{\sqrt5+1}{4}\right)^2-2\cdot\frac{\sqrt5+1}{4}-1\)
\(=\frac{4\cdot\left(6+2\sqrt5\right)}{16}-\frac{\sqrt5+1}{2}-1=\frac{8\left(3+\sqrt5\right)}{16}-\frac{\sqrt5+1}{2}-1\)
\(=\frac{3+\sqrt5}{2}-\frac{\sqrt5+1}{2}-1=\frac{3+\sqrt5-\sqrt5-1}{2}-1=\frac22-1=0\)
=>Q=0
=>Q không phụ thuộc vào biến x
