Question

Chứng minh bất đẳng thức sau :

\(e^x\ge x+1\) với mọi \(x\in R\)

 

 

Answer 1

 

\(e^x\ge x+1\) với mọi \(x\in R\) \(\Leftrightarrow e^x-x-1\ge0\) với mọi \(x\in R\)

Xét hàm số \(f\left(x\right)=e^x-x-1\) với mọi \(x\in R\)

Ta có : \(f'\left(x\right)=e^x-1=0\Leftrightarrow x=0\)

và : \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(e^x-x-1\right)=+\infty\)

        \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(e^x-x-1\right)=+\infty\)

Xét bảng biến thiên :

Từ bảng biến thiên ta có : \(f\left(x\right)\ge0\) với mọi \(x\in R\)

                              hay : \(e^x-x-1\ge0\) với mọi  \(x\in R\)

=> Điều phải chứng minh