Question

Chứng minh bất đẳng thức :

\(\frac{\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}}{2}\le\sqrt{\ln\frac{a+b}{2}}\) với \(a\ge1;b\ge1\)

Answer 1

Vì \(a\ge1;b\ge1\) nên \(\ln a;\ln b\) và \(\ln\frac{a+b}{2}\) không âm. Ta có :

* \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\Rightarrow\ln\frac{a+b}{2}\ge\ln\sqrt{ab}\Leftrightarrow\ln\frac{a+b}{2}\ge\frac{1}{2}\left(\ln a+\ln b\right)\)  (1)

* \(\ln a+\ln b\ge2\sqrt{\ln a.\ln b}\) Áp dụng BĐT Cauchy

\(\Rightarrow2\left(\ln a+\ln b\right)\ge\ln a+\ln b+2\sqrt{\ln a.\ln b}=\left(\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}\right)^2\)

hay : 

     \(\ln a+\ln b\ge\frac{1}{2}\left(\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}\right)^2\)  (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\ln\frac{a+b}{2}\ge\frac{1}{4}\left(\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}\right)^2\)

hay \(\frac{\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}}{2}\le\sqrt{\ln\frac{a+b}{2}}\)