BĐT Nesbitt nhé ko phải Nesbit đâu .V
Bđt đấy đây: Cho a,b,c dương
CMR: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
Giải
Ta có: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b}{a+c}+1\right)+\left(\frac{c}{a+b}+1\right)-3\)
\(=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{a+b}-3\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)-3\)
\(=\frac{1}{2}.\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)-3\)
Áp dụng bđt Cô-si cho 3 số dương được
\(\frac{1}{2}\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)-3\)
\(\ge\frac{1}{2}.3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}.3.\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}-3\)
\(=\frac{1}{2}.9.\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}-3\)
\(=\frac{9}{2}-3\)
\(=\frac{3}{2}\)
Dấu "='' xảy ra <=> a=b=c
Vậy ...........
BĐT Nesbit: Với a,b,c dương:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
\(BĐT\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b}{c+a}+1\right)+\left(\frac{c}{a+b}+1\right)\ge\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow2\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge9\)
Dùng bất đẳng thức cô si hai lần vào vế trái sẽ có điều cần chứng minh.
Các bạn có cách làm nào dễ hiểu hơn không? Mình vẫn chưa biết bất đẳng thức Cô-si
Có một cách khá bá đạo (mình vừa nghĩ ra) không biết có đúng không?Sai thi thôi nhé!
C/m: Với a,b,c dương thì: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
Giải
Do vai trò của a,b,c là bình đẳng. Giả sử \(a\ge b\ge c>0\)
Suy ra \(VT\ge\frac{a}{2a}+\frac{b}{2a}+\frac{c}{2a}\ge\frac{a}{2a}+\frac{a}{2a}+\frac{a}{2a}=\frac{3}{2}^{\left(đpcm\right)}\)
Vậy ...
tth(Box Toán-Văn) sai luôn kìa
Cái dấu > thứ 2 là sai nhé !
Thế này : \(a\ge b\ge c>0\) thì \(\hept{\begin{cases}\frac{b}{2a}\le\frac{a}{2a}\\\frac{c}{2a}\le\frac{a}{2a}\end{cases}}\)chứ , nếu biến đổi thế kia thì lại thành > ak ???
Cách đó sai nhé!
Còn Đoàn Lê Na nếu a nhớ ko nhầm thì lớp 8 học bđt Cô-si rồi mà nhỉ ?
Incursion_03: uk nhỉ? nãy không để ý là BĐT đổi chiều,sorry.
Có thể chứng minh giùm bất đăng thức Cosi luôn không ạ?
*Chứng minh BĐT cô si cho 2 số:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow\sqrt{a}^2-2\sqrt{ab}+\sqrt{b^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)
Được thôi em , ở đây a sẽ c/m bđt Cô-si cho 3 số nhé!
Ta cần c/m: \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)với a,b,c là các số dương
Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt[3]{a}=x\\\sqrt[3]{b}=y\\\sqrt[3]{c}=z\end{cases}}\)
Điều cần c/m tương đương với
\(x^3+y^3+z^3\ge3xyz\)
Chuyển vế rồi phân tích thành nhân tử sẽ được
\(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]\ge0\)Luôn đúng
=> Đpcm
à đây , có cách khác c/m bđt Cô-si cho 3 số khacsn. Cách này chắc dễ hiểu hơn cách hồi nãy
Làm giống bạn tth sẽ c/m được Cô-si 2 số
Ta cần c/m \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
Ta có : \(a+b+c+\sqrt[3]{abc}\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{c\sqrt[3]{abc}}\ge2\sqrt{2\sqrt{ab}.2\sqrt{c\sqrt[3]{abc}}}\)
\(=4\sqrt[4]{abc\sqrt[3]{abc}}\) \(=4\sqrt[3]{abc}\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)(Đpcm)
Dấu "=" <=> a = b = c
Nghĩ lại cách này có vẻ khó hiểu hơn tẹo -.-
Cauchy không hiểu thì chơi kiểu Chebyshev vậy :D
Giả sử \(a\le b\le c\)\(< =>\hept{\begin{cases}b+c\ge c+a\ge a+b\\\frac{a}{b+c}\le\frac{b}{c+a}\le\frac{c}{a+b}\end{cases}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho 2 dãy đơn điệu ngược chiều ta có
\(\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\left[\left(b+c\right)+\left(a+c\right)+\left(a+b\right)\right]\)
\(\ge3\left[\frac{a}{b+c}\left(b+c\right)+\frac{b}{c+a}\left(c+a\right)+\frac{c}{a+b}\left(a+b\right)\right]\)
\(< =>\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c>0\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
