Question

chứng minh \(3^{2^{10}}-1⋮2^{12}\)

Answer 1

Ta có bổ đề: \(\left(x-1\right)^n\equiv\left(-1\right)^{n+1}\left(na-1\right)\left(modn^2\right)\) (chứng minh bằng cách áp dụng khai triển nhị thức Newton).

Áp dụng bổ đề trên ta được:

\(\left(2^2-1\right)^{2^{10}}-1\equiv\left(-1\right)^{2^{10}+1}\left(2^{10}.2^2-1\right)-1\left(mod2^{20}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(2^2-1\right)^{2^{10}}-1\equiv-\left(2^{12}-1\right)-1\left(mod2^{20}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(2^2-1\right)^{2^{10}}-1\equiv-2^{12}\left(mod2^{20}\right)\)

\(\Rightarrow\left[\left(3^{2^{10}}-1\right)+2^{12}\right]⋮2^{20}\).

Mà \(2^{20}⋮2^{12}\) nên \(\left(3^{2^{10}}-1\right)⋮2^{12}\) (đpcm)