Với a, b, c là các số thực phân biệt khác 0:
$\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{3}{ab}=1$
$\Leftrightarrow \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}-1+\frac{3}{ab}=0$ (1)
Đặt $\frac 1a=x;\frac 1b=y$ ($x,y\ne0;x\ne y$)
Khi đó, (1) trở thành:
$x^3+y^3-1+3xy=0$
$\Leftrightarrow (x+y)^3-1-3xy(x+y)+3xy=0$
$\Leftrightarrow (x+y-1)^3-3(x+y).(-1)(x+y-1)-3xy(x+y-1)=0$
$\Leftrightarrow (x+y-1)[(x+y-1)^2+3(x+y)-3xy]=0$
$\Leftrightarrow (x+y-1)(x^2+y^2+1+2xy-2y-2x+3x+3y-3xy)=0$
$\Leftrightarrow (x+y-1)(x^2+y^2+1-xy+x+y)=0$
+, Nếu $x+y-1=0$
$\Rightarrow \frac 1a+\frac 1b-1=0$
$\Leftrightarrow \frac 1b=1-\frac 1a=\frac{a-1}{a}$
$\Leftrightarrow \frac ab=a-1$
Tương tự, ta cũng được: $\frac ba=b-1$
Khi đó: $[(a-1)(b-1)+2023]^{2024}$
$=\left(\frac ab.\frac ba+2023\right)^{2024}$
$=(1+2023)^{2024}=2024^{2024}$
+, Với $x^2+y^2+1-xy+x+y=0$
$\Leftrightarrow 2x^2+2y^2+2-2xy+2x+2y=0$
$\Leftrightarrow (x^2-2xy+y^2)+(x^2+2x+1)+(y^2+2y+1)=0$
$\Leftrightarrow (x-y)^2+(x+1)^2+(y+1)^2=0$
Ta thấy: $\begin{cases} (x-y)^2\ge0\forall x,y \\ (x+1)^2\ge0\forall x\\ (y+1)^2\ge0\forall y\end{cases}$
$\Rightarrow (x-y)^2+(x+1)^2+(y+1)^2\ge0\forall x,y$
Mà $(x-y)^2+(x+1)^2+(y+1)^2=0$
Do đó: $\begin{cases} x-y=0\\ x+1=0\\y+1=0\end{cases}\Rightarrow x=y=-1$
$\Rightarrow \frac 1a=\frac 1b=-1$
$\Rightarrow a=b=-1$ (tmdk)
Khi đó: $[(a-1)(b-1)+2023]^{2024}$
$=\left[(-1-1).(-1-1)+2023\right]^{2024}$
$=2027^{2024}$
#$\mathtt{Toru}$
