Question

Cho \(x,y,z\)là các số thực dương thoả mãn: \(x+y+z\le3\)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  \(M=\sqrt{2019x\left(y+2\right)}+\sqrt{2019y\left(z+2\right)}+\sqrt{2019z\left(x+2\right)}\) 

Answer 1

Em nghĩ nếu làm như Lê Hồ Trọng Tín thì dấu "=" không xảy ra -> sai nên em xin chia sẻ cách làm của mình.Mong được mọi người góp ý.

Theo BĐT AM-GM

\(\sqrt{2019x\left(y+2\right)}=\sqrt{673}.\sqrt{3.x\left(y+2\right)}\)

\(\le\frac{\sqrt{673}}{2}\left[3+x\left(y+2\right)\right]=\frac{\sqrt{673}}{2}\left(3+xy+2x\right)\)

Tương tự với hai BĐT còn lại và cộng theo vế ta được:

\(M\le\frac{\sqrt{673}}{2}\left[9+\left(xy+yz+zx\right)+2\left(x+y+z\right)\right]\)

\(\le\frac{\sqrt{673}}{2}\left[9+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+6\right]\le\frac{\sqrt{673}}{2}\left(9+3+6\right)=6=9\sqrt{673}\)

Dấu "=" xảy ra khi x =y = z  =1

Vậy...

Answer 2

Theo BĐT AM-GM:

\(\sqrt{2019x\left(y+2\right)}\)\(\le\)\(\frac{1}{2}\)(2019x+y+2)

\(\sqrt{2019y\left(z+2\right)}\)\(\le\)\(\frac{1}{2}\)(2019y+z+2)​​

​\(\sqrt{2019z\left(x+2\right)}\)​​\(\le\)\(\frac{1}{2}\)(2019z+x+2)

=>M​\(\le\)\(\frac{1}{2}\)[2019(x+y+z)+(x+y+z)+6]\(\le\)3033

Vậy MaxM=3033 <=>\(\hept{\begin{cases}2019x=y+2\\2019y=z+2\\2019z=x+2\end{cases}}\)

​​