Question

cho x,y,z>0 và x+y+z=1. CMR 3/(xy+yz+xz) +2/(x^2+y^2+z^2) >14

Answer 1

Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki dạng phân thức : x²/a + y²/b ≥ (x+y)²/(a+b) 
Ta có : 
3/(xy+yz+zx) + 2/(x²+y²+z²) = 6/(2xy+2yz+2zx) + 2/(x²+y²+z²) 
≥ (√6+√2)²/(x+y+z)² = (√6+√2)² > 14 (đpcm). 

Answer 2

Cách 2 : Ta đặt xy+yz+zx = t ( t>0 ) thì x²+y²+z² = (x+y+z)² - 2(xy+yz+zx) = 1-2t. Mặt khác ta lại có: 3(xy+yz+zx) ≤ (x+y+z)² = 1 ⇔ xy+yz+zx ≤ 1/3 hay t ≤ 1/3. Ta đưa bài toán về việc c/m: 3/t + 2/(1-2t) ≥ 14 với 0 < t ≤ 1/3. Biến đổi tương đương ta được : 3(1-2t) + 2t ≥ 14t(1-2t) ⇔ 28t² - 18t + 3 ≥ 0 ⇔ 3(1-3t)² + t² ≥ 0 (đúng). Tuy nhiên dấu "=" không xảy ra, do đó 3/(xy+yz+zx) + 2/(x²+y²+z²) > 14.

Answer 3

đề bài như sau

A=\(\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}>14\)

ta có \(A=\frac{2}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2}{2xy+2yz+2zx}+\frac{2}{xy+yz+zx}\)

     Áp dụng bất đẳng thức Svác sơ ta có 

\(\frac{2}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2}{2xy+2yz+2xz}>=\frac{8}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}\) \(=\frac{8}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{8}{1}=8\)(1)

mặt khác ta có Áp dụng bđt Cô si ta có \(x^2+y^2>=2xy\); \(y^2+z^2>=2yz\) ;  \(z^2+x^2>=2zx\) 

   =>  \(2\left(x^2+y^2+z^2\right)>=2\left(xy+yz+zx\right)\)

=> \(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx>=3\left(xy+yz+zx\right)\)

=> \(\left(x+y+z\right)^2>=3\left(xy+yz+zx\right)\)

=> \(\left(xy+yz+zx\right)< =\frac{1}{3}\)

=> \(\frac{2}{xy+yz+zx}>=6\) (2)

từ (1) (2) 

=> A>=14

cậu tìm dấu = không xảy ra thì A>14 (ĐPCM)

Answer 4

Kết bạn với mình nha.