Mãi mới nghĩ ra cách này:
\(VT=\frac{x}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}+\frac{y}{\left(y+x\right)+\left(y+z\right)}+\frac{z}{\left(z+x\right)+\left(z+y\right)}\)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
Ta có: \(\frac{x}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}=x\left(\frac{1}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}\right)\)
\(\le\frac{1}{4}x\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)\)
Thiết lập tương tự 2 BĐT còn lại và cộng theo vế,ta có:
\(VT\le\frac{1}{4}\left[\left(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+y}\right)+\left(\frac{x}{x+z}+\frac{z}{x+z}\right)+\left(\frac{y}{y+z}+\frac{z}{y+z}\right)\right]\)
\(=\frac{1}{4}\left(1+1+1\right)=\frac{3}{4}\) (đpcm)
Dẫu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
Dễ thôi bạn ơi\(\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{2y+x+z}+\frac{z}{2z+x+y}=\frac{x+y+z}{2x+y+z+2y+x+z+2z+x+y}=\frac{x+y+z}{4\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{4}\)
Vì \(\frac{1}{4}< \frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{2y+x+z}+\frac{z}{2z+x+y}\le\frac{3}{4}\)
Tiêu Nguyễn Việt Anh:you bị en nờ gờ u ak!đây là tổng chứ đâu phải là dãy tỉ số bằng nhau đâu!
you hok trên sao hỏa nên người trái đất như bọn tui dell hiểu đâu!
Ta có BĐT: \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) (*)
Áp dụng vào,ta có:
\(\frac{x}{2x+y+z}=x\left(\frac{1}{2x+\left(y+z\right)}\right)\le\frac{1}{4}x\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{y+z}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left(\frac{1x}{2x}+\frac{x}{y+z}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}+\frac{x}{y+z}\right)\)
Thiết lập tương tự 2 BĐT còn lại và cộng theo vế:
\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{3}{2}+\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\right)\)
Không mất tính tổng quát,giả sử \(x\ge y\ge z\Rightarrow x+y\ge x+z\ge y+z\)
Khi đó: \(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{3}{2}+\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\right)\)
\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{3}{2}+\frac{x+y+z}{y+z}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{5}{2}+\frac{x}{y+z}\right)\)
Tới đây tịt ngòi r :v.Bài này không dễ như mình nghĩ
