Question

cho x,y,z là các số dương thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=1\).chứng minh:

\(\frac{x}{y^2+z^2}+\frac{y}{z^2+x^2}+\frac{z}{x^2+y^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

Answer 1

Ta có   \(VT=\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}\)

Lại có   \(x^2\left(1-x^2\right)^2=\frac{2x^2\left(1-x^2\right)\left(1-x^2\right)}{2}\le\frac{\left(2x^2+1-x^2+1-x^2\right)^3}{54}=\frac{4}{27}\)

\(\Leftrightarrow\)   \(x\left(1-x^2\right)\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\)   \(\Leftrightarrow\)   \(\frac{1}{x\left(1-x^2\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\)   \(\Leftrightarrow\)   \(\frac{x}{\left(1-x^2\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\)  (1)

Tương tự cho    \(\frac{y}{\left(1-y^2\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}y^2\)  (2)  và    \(\frac{z}{\left(1-z^2\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}z^2\)   (3)

Cộng vế theo vế ta được   \(VT=\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Answer 2

đọc là muốn sỉu rùi! Con học lớp 7 ko hỉu j hết......

Answer 3

ukm con cũng học lớp 7 nhìn ngất luôn

Answer 4

giống hệt đề thi trường mk đó.

Cho mk hỏi sao bạn có đề đó vậy

Answer 5

bài này có cách quy đồng hay lắm nè :D

Answer 6

@Thắng Nguyễn mk mún xem cách giải của bạn

Answer 7

Ta cần chứng minh \(VT\ge\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)

Vì đây là BĐT thuần nhất nên ta có thể chuẩn hóa \(x^2+y^2+z^2=3\) và ta cần chứng minh

\(\frac{x}{y^2+z^2}+\frac{y}{z^2+x^2}+\frac{z}{x^2+y^2}\ge\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{3-x^2}-\frac{1}{2}+\frac{y}{3-y^2}-\frac{1}{2}+\frac{z}{3-z^2}-\frac{1}{2}\ge0\)

\(\LeftrightarrowΣ\left(\frac{x}{3-x^2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(x^2-1\right)\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x\left(x+2\right)\left(x-1\right)^2}{3-x^2}+\frac{y\left(y+2\right)\left(y-1\right)^2}{3-y^2}+\frac{z\left(z+2\right)\left(z-1\right)^2}{3-z^2}\ge0\)

BĐT cuối đúng nên ta có ĐPCM