a.
Với mọi \(x>0\) ta có:
\(\left(x-2\right)^2\left(x+4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3-12x+16\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3\ge12x-16\)
Hoàn toàn tương tự, ta có: \(y^3\ge12y-16\) ; \(z^3\ge12x-16\)
Cộng vế:
\(x^3+y^3+z^3\ge12\left(x+y+z\right)-48=12.6-48=24\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=2\)
b.
Với mọi \(x>0\) ta có:
\(\left(x-2\right)^2\left(x+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3-3x^2+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3+4\ge3x^2\)
Tương tự: \(y^3+4\ge3y^2\) ; \(z^3+4\ge3z^2\)
Cộng vế:
\(x^3+y^3+z^3+12\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^3+y^3+z^3\right)+24\ge6\left(x^2+y^2+z^2\right)\) (1)
Mà theo câu a: \(x^3+y^3+z^3\ge24\)
\(\Rightarrow3\left(x^3+y^3+z^3\right)\ge2\left(x^3+y^3+z^3\right)+24\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow3\left(x^3+y^3+z^3\right)\ge6\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3\ge2\left(x^2+y^2+z^2\right)\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=2\)
