Question

cho x,y,z >0 thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=2\)

CMR: \(\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{2}{y^2+z^2}+\frac{2}{z^2+x^2}\le\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}+3\)

 

Answer 1

BĐT <=>\(\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+z^2}\le\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2xz}+\frac{z^2}{2xy}+3\)

<=> \(^{1+\frac{z^2}{x^2+y^2}+1+\frac{x^2}{y^2+z^2}+1+\frac{y^2}{x^2+z^2}\le\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2xz}+\frac{z^2}{2xy}+3}\)

<=> \(\frac{z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{x^2+z^2}\le\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2xz}+\frac{z^2}{2xy}\) (1)

 TA có \(\left(x-y\right)^2\ge0\) với mọi x ; y => \(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow\frac{z^2}{x^2+y^2}\le\frac{z}{yz}\)

Tương tự với hai cái còn lại .. 

=> BĐT (1) đúng 

Dấu '' = '' xảy ra khi x = y = z = ...