Question

Cho x,y thỏa x² + y² = 1.Tìm GTLN, GTNN của A = x ⁶ + y⁶

Answer 1

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:

$x^6+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^6}{64}}=\frac{3}{4}x^2$

$y^6+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{4}y^2$

Cộng 2 BĐT trên và thu gọn theo vế thì:

$A+\frac{1}{2}\geq \frac{3}{4}(x^2+y^2)$

$\Leftrightarrow A+\frac{1}{2}\geq \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow A\geq \frac{1}{4}$

--------------------

Lại có:

$x^2+y^2=1\Rightarrow x^2\leq 1; y^2\leq 1\Rightarrow x^4\leq 1; y^4\leq 1$

Khi đó:

$x^6\leq x^2; y^6\leq y^2$

$\Rightarrow x^6+y^6\leq x^2+y^2$

$\Rightarrow A\leq 1$
Vậy $A_{\min}=\frac{1}{4}; A_{\max}=1$