Cho x;y là 2 số thực dương thỏa mãn \(x^2+y^2=2\)
\(CMR:\) \(\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{9y^2}{x+2y}\ge4\)
Mong Ribi Nkok Ngok;lê thị hương giang;Akai Haruma;Vũ Tiền Châu;Ace Legona;Nguyễn Xuân Tiến 24;Hung nguyen giúp mình với ạ. Mình xin cảm ơn trước
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\left(\frac{x^3}{y^2}+\frac{9y^2}{x+2y}\right)[xy^2+y^2(x+2y)]\geq (x^2+3y^2)^2\)
\(\Leftrightarrow \frac{x^3}{y^2}+\frac{9y^2}{x+2y}\geq \frac{(x^2+3y^2)^2}{2xy^2+2y^3}\)
\(\Leftrightarrow \frac{x^3}{y^2}+\frac{9y^2}{x+2y}\geq \frac{(x^2+3y^2)^2}{2y^2(x+y)}\) (1)
Áp dụng BĐT AM_GM:
\(x^2+y^2\geq 2xy\Leftrightarrow 2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2\)
\(\Leftrightarrow (x^2+y^2)^2\geq (x+y)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\geq x+y\)
Do đó, áp dụng BĐT AM-GM ngược dấu:
\(2y^2(x+y)\leq 2y^2(x^2+y^2)\leq \frac{(2y^2+x^2+y^2)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow 2y^2(x+y)\leq \frac{(x^2+3y^2)^2}{4}\) (2)
Từ (1),(2) suy ra \(\frac{x^3}{y^2}+\frac{9y^2}{x+2y}\geq 4\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=1\)
