Question

Cho \(x^3+y^3+z^3=3xyz\) và \(a\ne b\ne c\)
C/M: \(a+b+c=0\)

Answer 1

Sửa đề: x+y+z=0

\(x^3+y^3+z^3=3xyz\)

=>\(\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y\right)-3xyz=0\)

=>\(\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-z\left(x+y\right)+z^2\right]-3xy\left(x+y+z\right)=0\)

=>\(\left(x+y+z\right)\left[x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2-3xy\right]=0\)

=>\(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz\right)=0\)

=>\(\left(x+y+z\right)\left(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz\right)=0\)

=>\(\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2\right]=0\)(1)

x<>y<>z

=>\(x-y< >0;y-z< >0;x-z< >0\)

=>\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2\ne0\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra x+y+z=0

Answer 2

Để chứng minh C/M: a+b+c=0, ta sẽ sử dụng công thức Newton về tổng hệ số của đa thức. Theo công thức Newton, ta có: (x+y+z)^3 = x^3 + y^3 + z^3 + 3(x^2y + xy^2 + x^2z + xz^2 + y^2z + yz^2) + 6xyz Áp dụng công thức này vào phương trình đã cho, ta có: 3(x^2y + xy^2 + x^2z + xz^2 + y^2z + yz^2) + 6xyz = 3xyz Simplifying the equation, we get: x^2y + xy^2 + x^2z + xz^2 + y^2z + yz^2 + 2xyz = 0 Từ đây, ta có thể nhận thấy rằng: (x+y+z)(xy+yz+zx) = 0 Vì a, b, c là các số thực và a ≠ b ≠ c, nên ta có thể kết luận rằng: xy + yz + zx = 0 Do đó, ta có: (x+y+z)(xy+yz+zx) = (x+y+z)(0) = 0 Vì vậy, ta có C/M: a+b+c=0....