Question

Cho \(x^2-y=a,y^2-z=b\) và \(z^2-x=c\) ( a,b,c là các hằng số)

CMR: giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của các biến x,y,z

P=\(x^3\left(z-y^2\right)+y^3\left(x-z^2\right)+z^3\left(y-x^2\right)+xyz\left(xyz-1\right)\)

Answer 1

\(P=\left(x^2-y\right)\left(y^2-z^2\right)\left(z^2-x\right)=abc\)

Answer 2

Ta có: \(P=x^3\left(z-y^2\right)+y^3\left(x-z^2\right)+z^3\left(y-x^2\right)+xyz\left(xyz-1\right)\)

\(=x^3\left(z-y^2\right)+xy^3-y^3z^2+yz^3-x^2z^3+x^2y^2z^2-xyz\)

\(=x^3\left(z-y^2\right)+\left(xy^3-xyz\right)-\left(y^3z^2-yz^3\right)-\left(x^2z^3-x^2y^2z^2\right)\)

\(=x^3\left(z-y^2\right)+xy\left(y^2-z\right)-yz^2\left(y^2-z\right)-x^2z^2\left(z-y^2\right)\)

\(=\left(y^2-z\right)\left(-x^3+xy-yz^2+x^2z^2\right)\)

\(=\left(y^2-z\right)\left[\left(-x^3+xy\right)-\left(yz^2-x^2z^2\right)\right]\)

\(=\left(y^2-z\right)\left[x\left(-x^2+y\right)-z^2\left(y-x^2\right)\right]\)

\(=\left(y^2-z\right)\left(x-z^2\right)\left(y-x^2\right)\)

\(=b.\left(-c\right).\left(-a\right)=abc\)

Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của các biến x,y,z