Question

cho x>0, y>0, x+y= 1. Hãy chứng minh rằng x²+y² > hoặc = 1/2

Answer 1

Theo bđt cauchy schwarz dạng engel

\(x^2+y^2=\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{1+1}=\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)

Dấu = xảy ra \(< =>x=y=\frac{1}{2}\)

Answer 2

Theo Bunhiacopski ta có:

\(\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)

Đẳng thức xảy ra tại x=y=¹/₂

Trình bày khác xíu :))

Answer 3

\(\left(x-y\right)^2\ge0\Rightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge x^2+y^2+2xy\)

\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge1\Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\)

Answer 4

tiếp 

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:\(\left(x-y\right)^2=0\Rightarrow x-y=0\Rightarrow x=y\)