Áp dụng AM - GM:
\(2x^2+\frac{1}{2}z^2\ge2\sqrt{2x^2.\frac{1}{2}z^2}=2xz\)
\(2y^2+\frac{1}{2}z^2\ge2\sqrt{2y^2.\frac{1}{2}z^2}=2yz\)(x,y,z dương)
\(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\)
Cộng từng vế của các BĐT trên:
\(T\ge2\left(xy+yz+xz\right)=10\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow x=1;y=1;z=2\))
Có \(3z^2\)ko ạ ?
Áp dụng bđt AM-GM ta có:
\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\\y^2+z^2\ge2\sqrt{y^2z^2}=2yz\\z^2+x^2\ge2\sqrt{z^2x^2}=2zx\end{cases}}\)
Cộng theo vế các bđt trên ta được:
\(2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge5\)
\(\Rightarrow T\ge15\)
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow x^2=y^2;y^2=z^2;z^2=x^2;xy+yz+zx=5\)
\(\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{\frac{5}{3}}\)
Vậy \(T_{min}=15\)\(\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{\frac{5}{3}}\)
Kiệt đúng òi nha! Bài này thuộc dạng cân bằng hệ số. Nếu không biết điểm rơi thì cần đặt thêm hệ số vào để tìm cách tách phù hợp.
Không thì tách thành tổng các bình phương cho nó đẹp.
Cách 2:Ta có:
\(T-2\left(xy+yz+zx\right)=3x^2-2\left(y+z\right)x+3y^2+z^2-2yz\)
\(=\frac{\left(3x-y-z\right)^2+2\left(2y-z\right)^2}{3}\ge0\)
Suy ra \(T\ge2\left(xy+yz+zx\right)=10\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=1;z=2\)
P/s; Với x, y, z là các số thực thì min T vẫn là 10! Vẫn có thể chứng minh theo cách trên nhưng thêm 1 điểm rơi nữa là: \(x=y=-1;z=-2\)
Có thể diễn đạt cách tách như sau:
Ta thấy x, y có vai trò đối xứng nên có thể dự đoán x = y = kz
Ta xây dựng lần lượt các bđt: \(x^2+k^2z^2\ge2kxz;y^2+k^2z^2\ge2kyz;2\left(x^2+y^2\right)\ge2.2.xy\)
\(\Rightarrow\frac{1}{k}x^2+kz^2\ge2xz;\frac{1}{k}y^2+kz^2\ge2yz;x^2+y^2\ge2xy\) (*)
Cộng theo vế: \(\left(\frac{1}{k}+1\right)x^2+\left(\frac{1}{k}+1\right)y^2+2kz^2\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
Để cho nó giống biểu thức T thì: \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{k}+1=3\\2k=1\end{cases}}\Leftrightarrow k=\frac{1}{2}\)
Bây giờ thay vào các bđt phụ trên (*) được rồi:D
