Câu hỏi của Nguyễn Quốc Vũ Hoàng

Question

Cho x, y là hai số thực dương. Chứng minh rằng:$\frac{1-xy}{2+x^2+y^2}+\frac{x^2-y}{1+2x^2+y^2}+\frac{y^2-x}{1+x^2+2y^2}\ge0$

Kiệt Nguyễn · Accepted Answer

$BĐT\Leftrightarrow\frac{2-2xy}{2+x^2+y^2}+\frac{2x^2-2y}{1+2x^2+y^2}+\frac{2y^2-2x}{1+x^2+2y^2}\ge0$$\Leftrightarrow1-\frac{2-2xy}{2+x^2+y^2}+1-\frac{2x^2-2y}{1+2x^2+y^2}+1-\frac{2y^2-2x}{1+x^2+2y^2}\le3$$\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)^2}{2+x^2+y^2}+\frac{\left(y+1\right)^2}{1+2x^2+y^2}+\frac{\left(x+1\right)^2}{1+x^2+2y^2}\le3$(*)Theo bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức: $\frac{\left(x+y\right)^2}{2+x^2+y^2}\le\frac{x^2}{1+x^2}+\frac{y^2}{1+y^2}$(1); $\frac{\left(y+1\right)^2}{1+2x^2+y^2}\le\frac{y^2}{x^2+y^2}+\frac{1}{x^2+1}$(2); $\frac{\left(x+1\right)^2}{1+x^2+2y^2}\le\frac{x^2}{x^2+y^2}+\frac{1}{y^2+1}$(3)Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: $\frac{\left(x+y\right)^2}{2+x^2+y^2}+\frac{\left(y+1\right)^2}{1+2x^2+y^2}+\frac{\left(x+1\right)^2}{1+x^2+2y^2}\le$$\left(\frac{x^2}{x^2+y^2}+\frac{y^2}{x^2+y^2}\right)+\left(\frac{1}{y^2+1}+\frac{y^2}{y^2+1}\right)+\left(\frac{1}{x^2+1}+\frac{x^2}{x^2+1}\right)=3$Như vậy (*) đúngVậy bất đẳng thức được chứng minhĐẳng thức xảy ra khi x = y = 1Câu trả lời: $BĐT\Leftrightarrow\frac{2-2xy}{2+x^2+y^2}+\frac{2x^2-2y}{1+2x^2+y^2}+\frac{2y^2-2x}{1+x^2+2y^2}\ge0$$\Leftrightarrow1-\frac{2-2xy}{2+x^2+y^2}+1-\frac{2x^2-2y}{1+2x^2+y^2}+1-\frac{2y^2-2x}{1+x^2+2y^2}\le3$$\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)^2}{2+x^2+y^2}+\frac{\left(y+1\right)^2}{1+2x^2+y^2}+\frac{\left(x+1\right)^2}{1+x^2+2y^2}\le3$(*)Theo bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức: $\frac{\left(x+y\right)^2}{2+x^2+y^2}\le\frac{x^2}{1+x^2}+\frac{y^2}{1+y^2}$(1); $\frac{\left(y+1\right)^2}{1+2x^2+y^2}\le\frac{y^2}{x^2+y^2}+\frac{1}{x^2+1}$(2); $\frac{\left(x+1\right)^2}{1+x^2+2y^2}\le\frac{x^2}{x^2+y^2}+\frac{1}{y^2+1}$(3)Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: $\frac{\left(x+y\right)^2}{2+x^2+y^2}+\frac{\left(y+1\right)^2}{1+2x^2+y^2}+\frac{\left(x+1\right)^2}{1+x^2+2y^2}\le$$\left(\frac{x^2}{x^2+y^2}+\frac{y^2}{x^2+y^2}\right)+\left(\frac{1}{y^2+1}+\frac{y^2}{y^2+1}\right)+\left(\frac{1}{x^2+1}+\frac{x^2}{x^2+1}\right)=3$Như vậy (*) đúngVậy bất đẳng thức được chứng minhĐẳng thức xảy ra khi x = y = 1

Tran Le Khanh Linh · Answer

$\frac{1-xy}{2+x^2+y^2}+\frac{x^2-y^2}{1+2x^2+y^2}+\frac{y^2-x}{1+x^2+2y^2}\ge0$$\Leftrightarrow\frac{1-xy+3x^2-2y^2-2y^2+x}{\left(1+x^2+y^2\right)}\ge0$$\Leftrightarrow\frac{2\left(1+x^2+y^2\right)+x^2}{1+x^2+y^2}\ge0$Vì x2 và y2 >0$\Rightarrow2+\frac{x^2}{1+x^2+y^2}\ge0$(luôn đúng)Câu trả lời: $\frac{1-xy}{2+x^2+y^2}+\frac{x^2-y^2}{1+2x^2+y^2}+\frac{y^2-x}{1+x^2+2y^2}\ge0$$\Leftrightarrow\frac{1-xy+3x^2-2y^2-2y^2+x}{\left(1+x^2+y^2\right)}\ge0$$\Leftrightarrow\frac{2\left(1+x^2+y^2\right)+x^2}{1+x^2+y^2}\ge0$Vì x2 và y2 >0$\Rightarrow2+\frac{x^2}{1+x^2+y^2}\ge0$(luôn đúng)

tth_new · Answer

Bạn nhatt quynhh xem lại bài bạn đi nha. Phô diễn kỹ thuật tí:

Bài này đúng với mọi x, y là các số thực. Thật vậy$,$

Bất đẳng thức đã cho tương đương với: (vô thống kê hỏi đáp mình xem LaTex nha, tại olm bị lỗi LaTex)

${\frac {1}{378}}\, \left( x+y-2 \right) ^{4} \left( 29\,{x}^{2}+29\,{y }^{2}+20 \right) \\+{\frac {1}{378}}\, \left( y+1-2\,x \right) ^{4} \left( 20\,{x}^{2}+29\,{y}^{2}+29 \right) +{\frac {1}{378}}\, \left( 1+x-2\,y \right) ^{4} \left( 29\,{x}^{2}+20\,{y}^{2}+29 \right) \\+\frac{1}{14} \, \left( {x}^{2}y+x{y}^{2}+{x}^{2}-6\,xy+{y}^{2}+x+y \right) ^{2} \geqslant 0$

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)