Question

Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện 3 x 2 + y 2 − 2 . log 2 x − y = 1 2 1 + log 2 1 − x y .  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  M = 2 x 3 + y 3 − 3 x y .

A. 7

B.  13 2

C.  17 2

D. 3

Answer 1

Đáp án B

Ta có:

3 x 2 + y 2 − 2 . log 2 x − y = 1 2 1 + log 2 1 − x y ⇔ 3 x 2 + y 2 − 2 . log 2 x − y 2 = log 2 2 − 2 x y  

⇔ 3 x 2 + 2 x y + y 2 − 2 + 2 x y . log 2 x − y 2 = log 2 2 − 2 x y ⇔ 3 x − y 2 . log 2 x − y = 3 2 − 2 x y . log 2 2 − 2 x y  

Xét hàm số f t = 3 t . log 2 t trên khoảng 0 ; + ∞ , có  f ' t = 3 t ln 3. log 2 t + 3 t t . ln 2 > 0 ; ∀ t > 0

Suy ra f t là hàm số đồng biến trên 0 ; + ∞ mà

f x − y 2 = f 2 − 2 x y ⇒ x 2 + y 2 = 2

Khi đó:

M = 2 x 3 + y 3 − 3 x y = 2 x + y x + y 2 − 3 x y − 3 x y ⇔ 2 M = 2 x + y 2 x + y 2 − 3.2 x y − 3.2 x y 2 x + y 2 x + y 2 − 3 x + y 2 + 6 − 3 x + y 2 + 6 = 2 x + y 6 − x + y 2 − 3 x + y 2 + 6 = − 2 a 3 − 3 a 2 + 12 a + 6 ,

Với  a = x + y ∈ 0 ; 4

Xét hàm số f a = − 2 a 3 − 3 a 2 + 12 a + 6 trên 0 ; 4 ,

suy ra m ax 0 ; 4 f a = 13.  

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức M là 13 2