Question

Cho x; y là 2 số cùng dấu chứng minh :  \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)

Answer 1

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\Rightarrow\frac{x^2+y^2}{xy}-2\ge0\Rightarrow\frac{x^2+y^2-2xy}{xy}\ge0\Rightarrow\frac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge0\)

ta có \(\left(x-y\right)^2\ge0\) Với mọi x thuộc R

mà x,y là 2 số cùng dấu suy ra x.y\(\ge\)0 Với mọi x thuộc R

suy ra \(\frac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge0\Rightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\left(đpcm\right)\)