Cho tam giác nhọn ABC có AB nhỏ hơn AC nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AD = 2R hai đường cao BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H .Gọi M là trung điểm của bc
a, chứng minh DB vuông góc AB và tính góc BDC biết BAC =50 độ
b, Chứng minh 3 điểm H,M,D thẳng hàng và AH=2OM
Giúp với ạ mình đang cần gấp ạa
VẼ CẢ HÌNH NỮA Ạ
a.
Do AD là đường kính và B thuộc đường tròn (O)
\(\Rightarrow\widehat{ABD}\) là góc nt chắn nửa đường tròn
\(\Rightarrow\widehat{ABD}=90^0\)
\(\Rightarrow DB\perp AB\) (1)
Do 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc (O) nên tứ giác ABDC nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{BAC}+\widehat{BDC}=180^0\)
\(\Rightarrow\widehat{BDC}=180^0-\widehat{BAC}=130^0\)
b.
Do CF là đường cao nên \(CF\perp AB\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow CF||BD\) hay \(CH||BD\)
Chứng minh tương tự ta có \(CD||BH\) (cùng vuông góc AC)
\(\Rightarrow BDCH\) là hình bình hành (tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song)
\(\Rightarrow\) Hai đường chéo BC và DH cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Mà M là trung điểm BC
\(\Rightarrow M\) đồng thời là trung điểm DH (3)
\(\Rightarrow H,M,D\) thẳng hàng
Do AD là đường kính và O là tâm đường tròn nên O là trung điểm AD (4)
(3),(4) \(\Rightarrow\) OM là đường trung bình tam giác ADH
\(\Rightarrow OM=\dfrac{1}{2}AH\Rightarrow AH=2OM\)
