Question

Cho tam giác MNP vuông tại M (MP > MN). Kẻ tia phân giác của góc N cắt PM tại I. Từ P hạ đoạn thẳng PK vuông góc với tia phân giác NI (K thuộc tia NI).1) Chứng minh: tam giac MNI đồng dạng với tam giac KPI 2) Chứng minh: goc INP = goc IPK 3) Cho MN = 6 cm, MP = 8 cm. Tính IM

Answer 1

1: Xét ΔMNI vuông tại M và ΔKPI vuông tại K có

\(\widehat{MIN}=\widehat{KIP}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔMNI~ΔKPI

2: Ta có: ΔMNI~ΔKPI

=>\(\widehat{MNI}=\widehat{KPI}\)

mà \(\widehat{MNI}=\widehat{PNI}\)(NI là phân giác của góc MNP)

nên \(\widehat{KPI}=\widehat{PNI}\)

Xét ΔKPI vuông tại K và ΔKNP vuông tại K có

\(\widehat{KPI}=\widehat{KNP}\)

Do đó: ΔKPI~ΔKNP

=>\(\dfrac{KP}{KN}=\dfrac{KI}{KP}\)

=>\(KP^2=KN\cdot KI\)

3: Ta có: ΔMNP vuông tại M

=>\(MN^2+MP^2=NP^2\)

=>\(NP^2=6^2+8^2=100=10^2\)

=> NP=10(cm)

Xét ΔNMP có NI là phân giác

nên \(\dfrac{MI}{MN}=\dfrac{IP}{NP}\)

=>\(\dfrac{MI}{6}=\dfrac{IP}{10}\)

=>\(\dfrac{MI}{3}=\dfrac{IP}{5}\)

mà MI+IP=MP=8cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{MI}{3}=\dfrac{IP}{5}=\dfrac{MI+IP}{3+5}=\dfrac{8}{8}=1\)

=>\(MI=3\cdot1=3\left(cm\right)\)