Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A có \(AB^2+AC^2=BC^2\) (định lý Pytago)
\(\Rightarrow BC^2=12^2+16^2=20^2\Rightarrow BC=20\).
Theo tính chất đường phân giác trong tam giác ABC ta có:
\(\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{CD+BD}{AC+AB}=\dfrac{BC}{AC+AB}=\dfrac{20}{12+16}=\dfrac{5}{7}\Rightarrow BD=\dfrac{60}{7};CD=\dfrac{80}{7}\).
Ta có \(AH.BC=AB.AC\left(=2S_{ABC}\right)\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{48}{5}\).
Từ đó \(BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{12^2-\left(\dfrac{48}{5}\right)^2}=\dfrac{36}{5}\).
Suy ra \(HD=\left|BD-BH\right|=\left|\dfrac{48}{5}-\dfrac{36}{5}\right|=\dfrac{12}{5}\).
\(AD=\sqrt{AH^2+HD^2}=\dfrac{12\sqrt{17}}{5}\).
