Question

Cho tam giác ABC vuông tại B, đường cao BE, AB=16cm, BC=12cm. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của E lên AB và BC.

a. Tứ giác BMEN là hình gì? Vì sao?           

b. Tính độ dài đoạn thẳng CE và MN?

c. Đường thẳng vuông góc với MN tại M cắt AE tại H, gọi G là giao điểm của BE và MN. Chứng minh \(HG^2=\dfrac{1}{2}AH\cdot AC.\)

Answer 1

a: Xét tứ giác BMEN có 

nên BMEN là hình chữ nhật

b: ΔBAC vuông tại B

=>\(AC^2=AB^2+BC^2=12^2+16^2=400=20^2\)

=>AC=20(cm)

Xét ΔCEB vuông tại E và ΔCBA vuông tại B có

\(\widehat{ECB}\) chung

Do đó: ΔCEB~ΔCBA

=>\(\dfrac{CE}{CB}=\dfrac{CB}{CA}\)

=>\(CE\cdot CA=CB^2\)

=>\(CE=\dfrac{CB^2}{CA}=\dfrac{12^2}{20}=7,2\left(cm\right)\)

c: ta có: BMEN là hình chữ nhật

=>\(\widehat{NME}=\widehat{NBE}\)

mà \(\widehat{NBE}=\widehat{A}\left(=90^0-\widehat{EBA}\right)\)

nên \(\widehat{NME}=\widehat{A}\)

Ta có: \(\widehat{NME}+\widehat{HME}=\widehat{NMH}=90^0\)

\(\widehat{A}+\widehat{MEA}=90^0\)(ΔEMA vuông tại M)

mà \(\widehat{NME}=\widehat{A}\)

nên \(\widehat{HME}=\widehat{HEM}\)

=>HM=HE

TA có: \(\widehat{HME}+\widehat{HMA}=\widehat{EMA}=90^0\)

\(\widehat{HEM}+\widehat{HAM}=90^0\)(ΔEMA vuông tại M)

mà \(\widehat{HME}=\widehat{HEM}\)

nên \(\widehat{HMA}=\widehat{HAM}\)

=>HM=HA

mà HM=HE

nên HA=HE

=>H là trung điểm của AE

BMEN là hình chữ nhật

=>BE cắt MN tại trung điểm của mỗi đường

=>G là trung điểm chung của BE và MN

Xét ΔEBA có

G,H lần lượt là trung điểm của EB,EA

=>GH là đường trung bình của ΔEBA

=>\(GH=\dfrac{1}{2}BA\)

=>\(GH^2=\dfrac{1}{4}\cdot AB^2\)

Xét ΔAEB vuông tại E và ΔABC vuông tại B có

​\(\widehat{EAB}\) chung

Do đó: ΔAEB~ΔABC

=>\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AB}{AC}\)

=>\(AE\cdot AC=AB^2\)

=>\(HG^2=\dfrac{1}{4}\cdot AB^2=\dfrac{1}{4}\cdot AE\cdot AC=\dfrac{1}{4}\cdot2\cdot AH\cdot AC=\dfrac{1}{2}\cdot AH\cdot AC\)