Question

Cho tam giác ABC vuông tại B

a) Trên cạnh BC lấy điểm H. Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng AH tại K, cắt tia AB tại D. Gọi I là giao DH và AC. CM : DI.DH = BD.DA và DK = DH.sin\(\hat{DBK}\)

Answer 1

a: Xét ΔCDA có

CB,AK là các đường cao

CB cắt AK tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔCDA

=>DH⊥AC tại I

Xét ΔDBH vuông tại B và ΔDIA vuông tại I có

\(\hat{BDH}\) chung

Do đó: ΔDBH~ΔDIA

=>\(\frac{DB}{DI}=\frac{DH}{DA}\)

=>\(DB\cdot DA=DI\cdot DH\)

Xét ΔDBC vuông tại B và ΔDKA vuông tại K có

\(\hat{BDC}\) chung

Do đó: ΔDBC~ΔDKA

=>\(\frac{DB}{DK}=\frac{DC}{DA}\)

=>\(\frac{DB}{DC}=\frac{DK}{DA}\)

Xét ΔDBK và ΔDCA có

\(\frac{DB}{DC}=\frac{DK}{DA}\)

góc BDK chung

Do đó: ΔDBK~ΔDCA

=>\(\hat{DBK}=\hat{DCA}\)

Xét ΔDKH vuông tại K có \(\sin DHK=\frac{DK}{DH}\)

mà \(\hat{DHK}=\hat{DCI}\left(=90^0-\hat{CDH}\right)\)

nên \(\sin DCI=\frac{DK}{DH}\)

=>sin DBK=\(\frac{DK}{DH}\)

=>\(DK=DH\cdot\sin DBK\)