Question

Cho tam giác ABC vuông tại A và có đường cao AH. Đường tròn đường kính AH cắt các cạnh AB,AC lần lượt tại E và F.

1/chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật

2/chứng minh AE.AB=ÀF.AC

Answer 1

1) Ta có: \(\Delta AHF\) nội tiếp đường tròn (D) có AH là đường kính 

\(\Rightarrow\widehat{AFH}=90^o\) (1) 

\(\Delta AHE\) nội tiếp đường tròn (D) có AH là đường kính 

\(\Rightarrow\widehat{AEH}=90^o\) (2) 

Mà: \(\widehat{EAF}=90^o\left(gt\right)\) (3) 

Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow\) Tứ giác AEHF có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật 

2) Áp dụng hệ thức lượng cho ΔABH có đường cao HE ta có:

\(AE\cdot AB=AH^2\) (4) 

Áp dụng hệ thức lượng cho ΔACH có đường cao HF ta có:

\(AF\cdot AC=AH^2\) (5) 

Từ (4) và (5) ta có: \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\left(đpcm\right)\)