Question

 Cho tam giác ABC vuông tại A, M là điểm bất kỳ nằm giữa B và C. Vẽ D đối xứng với M qua AB, E đối xứng với M qua AC.
a) Chứng minh D, A, E thẳng hàng và A là trung điểm của DE
b) Chứng minh MD vuông góc với ME
c) Chứng minh DB // CE
d) Tìm vị trí của M trên BC để DE nhỏ nhất.

Answer 1

a: M đối xứng D qua AB

=>AB là trung trực của MD

=>AM=AD

=>AB là phân giác của góc MAD(1)

M đối xứng E qua AC

=>AC là trung trực của ME

=>AM=AE
=>AC là phân giác của góc MAE(2)

Từ (1), (2) suy ra góc DAE=2*90=180 độ

=>D,A,E thẳng hàng

mà AD=AE
nên A là trung điểm của DE

b: Xét ΔMED có

MA là trung tuyến

MA=DE/2

=>ΔMED vuông tại M

c: Xét ΔAMB va ΔADB có

AM=AD

góc MAB=góc DAB

AB chung

=>ΔAMB=ΔADB

=>góc ADB=90 độ

=>BD vuông góc DE(3)

Xét ΔAMC và ΔAEC có

AM=AE
MC=EC

AC chung

=>ΔAMC=ΔAEC

=>góc AEC=90 độ

=>CE vuông góc ED(4)

Từ (3), (4) suy ra DB//CE