Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng:
1) AB.AC = AH.BC 2) AB^2 = BH.BC
3) AH^2 = HB.HC 4) 1/AH^2 = 1/AB^2 + 1/AC^2

Answer 1

1: Xét ΔABH vuông tại H và ΔCBA vuông tại A có

\(\widehat{ABH}\) chung

Do đó: ΔABH~ΔCBA

=>\(\dfrac{AB}{CB}=\dfrac{AH}{CA}\)

=>\(AB\cdot AC=AH\cdot BC\)

2: Ta có: ΔABH~ΔCBA

=>\(\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{BH}{BA}\)

=>\(BA^2=BH\cdot BC\)

3: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔHAC vuông tại H có

\(\widehat{HAB}=\widehat{HCA}\left(=90^0-\widehat{ABC}\right)\)

Do đó; ΔHBA~ΔHAC

=>\(\dfrac{HB}{HA}=\dfrac{HA}{HC}\)

=>\(HA^2=HB\cdot HC\)

4: 

 

\(\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{AB^2+AC^2}{\left(AB\cdot AC\right)^2}\)

\(=\dfrac{BC^2}{\left(AH\cdot BC\right)^2}=\dfrac{BC^2}{AH^2\cdot BC^2}=\dfrac{1}{AH^2}\)