Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, I là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia IA lấy diễm M sao cho IA=IM. a) Lấy D sao cho A là trung điểm BD, gọi giao điểm của DI cắt AC tại G. Chứng minh tứ giác AMCD là hình bình hành và GC=2AG. b) Kẻ P∈ IM, Q∈ CD sao cho PM=DQ. Lấy E∈ AC sao cho AE=3/2AG. Chứng minh P, E, Q thẳng hàng.

Answer 1

a: Xét tứ giác ABMC có

I là trung điểm chung của AM và BC

=>ABMC là hình bình hành

=>AB//MC và AB=MC

AB//MC

=>AD//MC

AB=MC

AB=AD

Do đó: MC=AD
Xét tứ giác AMCD có

CM//AD

CM=AD

Do đó: AMCD là hình bình hành

Xét ΔBDC có

DI,CA là các đường trung tuyến

DI cắt CA tại G

Do đó: G là trọng tâm của ΔBDC

=>GC=2GA

b: Xét ΔBDC có

CA là đường trung tuyến

G là trọng tâm

Do đó: CA=3GC

=>\(\frac{CA}{AE}=\frac{3AG}{\frac32AG}=2\)

=>CA=2AE

=>E là trung điểm của AC

Ta có: DQ+QC=DC

PM+PA=MA

mà DC=MA(ADCM là hình bình hành)

và DQ=PM

nên QC=PA

Xét tứ giác APCQ có

AP//CQ

AP=CQ

Do đó: APCQ là hình bình hành

=>AC cắt PQ tại trung điểm của mỗi đường

mà E là trung điểm của AC

nên E là trung điểm của PQ

=>P,E,Q thẳng hàng