Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH
a) Chứng minh tam giác AHB đồng dạng tam giác CHA
b) Biết BH = 3cm, HC = 6cm. Tính HA?
c1) Lấy D thuộc HC sao cho HB = HD. Chứng minh tam giác HBA đồng dạng tam giác ABC
c2) Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AD cắt AD tại E. Chứng minh AH.CD = CE.AD
c3) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng tam giác EDC
d) Biết AH giao CE tại F. Tia FD cắt AC tại K. Chứng minh KD là tia phân giác của góc HKE
a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔCHA vuông tại H có
\(\widehat{HAB}=\widehat{HCA}\left(=90^0-\widehat{ABC}\right)\)
Do đó: ΔHAB~ΔHCA
b: ΔHAB~ΔHCA
=>\(\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{HB}{HA}\)
=>\(HA^2=HB\cdot HC=3\cdot6=18\)
=>\(HA=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\left(cm\right)\)
c1: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có
\(\widehat{HBA}\) chung
Do đó: ΔHBA~ΔABC
c2: Xét ΔDHA vuông tại H và ΔDEC vuông tại E có
\(\widehat{HDA}=\widehat{EDC}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔDHA~ΔDEC
=>\(\dfrac{AH}{EC}=\dfrac{DA}{DC}\)
=>\(AH\cdot CD=AD\cdot EC\)
c3: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHD vuông tại H có
AH chung
HB=HD
Do đó: ΔAHB=ΔAHD
=>\(\widehat{ABD}=\widehat{ADB}\)
=>\(\widehat{ABC}=\widehat{EDC}\)
Xét ΔABC vuông tại A và ΔEDC vuông tại E có
\(\widehat{ABC}=\widehat{EDC}\)
Do đó: ΔABC~ΔEDC
d: Xét ΔCAF có
AE,CH là các đường cao
AE cắt CH tại D
Do đó: D là trực tâm của ΔCAF
=>FD\(\perp\)AC tại K
Xét tứ giác AKDH có \(\widehat{AHD}+\widehat{AKD}=90^0+90^0=180^0\)
nên AKDH là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác CEDK có \(\widehat{CED}+\widehat{CKD}=90^0+90^0=180^0\)
nên CEDK nội tiếp
Xét tứ giác FEDH có \(\widehat{FED}+\widehat{FHD}=90^0+90^0=180^0\)
nên FEDH là tứ giác nội tiếp
Ta có: \(\widehat{HKD}=\widehat{HAD}\)(AHDK nội tiếp)
\(\widehat{EKD}=\widehat{ECD}\)(CKDE nội tiếp)
mà \(\widehat{HAD}=\widehat{ECD}\left(=90^0-\widehat{CFH}\right)\)
nên \(\widehat{HKD}=\widehat{EKD}\)
=>KD là phân giác của góc HKE
