Question

Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Vẽ HP vuông góc AB và HQ vuông góc AC  . Cho biết AH = 2cm và BC = 5 cm.
a) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác APQ và ABC ;
b) Tính diện tích của các tứ giác APHQ và BPQC .

Answer 1

a: Xét tứ giác APHQ có \(\widehat{APH}=\widehat{AQH}=\widehat{PAQ}=90^0\)

nên APHQ là hình chữ nhật

=>AH=PQ=2cm

Xét ΔHAB vuông tại H có HP là đường cao

nên \(AP\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HQ là đường cao

nên \(AQ\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AP\cdot AB=AQ\cdot AC\)

=>\(\dfrac{AP}{AC}=\dfrac{AQ}{AB}\)

Xét ΔAPQ vuông tại A và ΔACB vuông tại A có

\(\dfrac{AP}{AC}=\dfrac{AQ}{AB}\)

Do đó: ΔAPQ~ΔACB

=>\(\dfrac{S_{APQ}}{S_{ACB}}=\left(\dfrac{PQ}{CB}\right)^2=\dfrac{4}{25}\)

b: Vì APHQ là hình chữ nhật

nên \(S_{APHQ}=2\cdot S_{AQP}=2\cdot\dfrac{4}{25}\cdot S_{ACB}=\dfrac{8}{25}\cdot S_{ACB}\)

\(S_{APQ}+S_{BPQC}=S_{ABC}\)

=>\(S_{BPQC}+\dfrac{4}{25}\cdot S_{ABC}=S_{ABC}\)

=>\(S_{BPQC}=\dfrac{21}{25}\cdot S_{ABC}\)

=>\(\dfrac{S_{APHQ}}{S_{BPQC}}=\dfrac{8}{25}:\dfrac{21}{25}=\dfrac{8}{21}\)