Question

cho tam giác abc vuông tại a đường cao ah gọi i, k lần lượt là trung điểm của hai cạnh ah và bh.

a) cmr: tam giác ahk đồng dạng với tam giác chi

b) CMR: ak vuông góc với ci

Answer 1

Xét \(\Delta\) HBA và \(\Delta\) ABC có \(\widehat{H}\)  =  \(\widehat{A}\) = 90⁰; \(\widehat{B}\) chung

⇒  \(\Delta\) HBA  \(\sim\)  \(\Delta\) ABC (g-g)

Tương tự ta có:   \(\Delta\) HAC  \(\sim\)  \(\Delta\) ABC (g-g-g)

    ⇒ \(\Delta\) HBA  \(\sim\)   \(\Delta\) HAC ( t/c hai tam giác đồng dạng)

   ⇒ \(\dfrac{HB}{HA}\) = \(\dfrac{HA}{HC}\) = \(\dfrac{BA}{AC}\)( theo khái niệm của tam giác đồng dạng.)

Mặt khác: KI là đường trung bình của tam giác ABH nên:

        \(\dfrac{HI}{HA}\) = \(\dfrac{HK}{HB}\) ⇒  \(\dfrac{HK}{HI}\) =   \(\dfrac{HB}{HA}\)

⇒ \(\dfrac{HK}{HI}\) = \(\dfrac{HA}{HC}\) mà \(\widehat{AHK}\) = \(\widehat{CHI}\)  = 90⁰

⇒ \(\Delta\)  AHK \(\sim\) \(\Delta\) CHI ( c-g-c)

b, Kéo dài CI cắt AK tại D ta có:

vì  \(\Delta\)  AHK \(\sim\) \(\Delta\) CHI ⇒ \(\widehat{HAK}\) = \(\widehat{HCI}\)

Xét \(\Delta\) HAK và \(\Delta\) DCK có: \(\widehat{A}\) = \(\widehat{C}\) ( cmt)

                                           \(\widehat{K}\) chung

   ⇒ \(\Delta\) HAK \(\sim\) \(\Delta\) DCK ( g-g)

  ⇒ \(\widehat{H}\) = \(\widehat{D}\)= 90⁰ ⇒ AK \(\perp\) CI tại D ( đpcm)