Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E,F là hình chiếu của H lên AB,AC. Chứng minh rằng:

\(\sqrt[3]{BE^2}+\sqrt[3]{CF^2}=\sqrt[3]{BC^2}\)

Answer 1

ta can cm\(\sqrt[3]{BE^2}+\sqrt[3]{CF^2}\) =\(\sqrt[3]{BC}\)

 hay  \(\sqrt[3]{\frac{BE^2}{BC^2}}+\sqrt[3]{\frac{CF^2}{BC^2}}=1\)

trong tam giác AHB \(BH^2=BE.BA\Rightarrow BE=\frac{BH^2}{BA}\Rightarrow BE^2=\frac{BH^4}{BA^2}\) (1)

ma trong tam giac ABC \(AB^2=BH.BC\)

thay vao (1) ta co \(BE^2=\frac{BH^4}{AB^2}=\frac{BH^4}{BH.BC}=\frac{BH^3}{BC}\Rightarrow\frac{BE^2}{BC^2}=\frac{BH^3}{BC^3}\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{\frac{BE^2}{BC^2}}=\frac{BH}{BC}\)

CM TUONG TU \(\sqrt[3]{\frac{CF^2}{BC^2}}=\frac{CH}{BC}\)

VAY \(\sqrt[3]{\frac{BE^2}{BC^2}}+\sqrt[3]{\frac{CF^2}{BC^2}}=\frac{HB}{BC}+\frac{CH}{BC}=1\)