Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
a. Chứng minh: \(\Delta ABC\sim\Delta HAC.và.AB\cdot AC=AH\cdot BC.\)
b. Vẽ \(HD\perp AB\) tại D. Chứng minh rằng: \(AH^2=HD\cdot AC.\)
C. Gọi M là trung điểm của HC, đường thẳng đi qua M và song song với HD cắt AH tại N, BN cắt AM tại E. Chứng minh: \(AM\perp BE.và.HD\cdot AC=4NB\cdot NE.\)
a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHAC vuông tại H có
\(\widehat{ACB}\) chung
DO đo: ΔABC~ΔHAC
=>\(\dfrac{AB}{AH}=\dfrac{BC}{AC}\)
=>\(AB\cdot AC=AH\cdot BC\)
b:
Ta có: DH\(\perp\)AB
AC\(\perp\)AB
Do đó: DH//AC
Xét ΔDHA vuông tại D và ΔHAC vuông tại H có
\(\widehat{DHA}=\widehat{HAC}\)(hai góc so le trong, DH//AC)
Do đó: ΔDHA~ΔHAC
=>\(\dfrac{HA}{AC}=\dfrac{DH}{HA}\)
=>\(AH^2=DH\cdot AC\)
c: Ta có: MN//HD
HD\(\perp\)AB
Do đó: MN\(\perp\)AB
Ta có: MN//HD
HD//AC
Do đó: MN//AC
Xét ΔHAC có
M là trung điểm của HC
MN//AC
Do đó: N là trung điểm của HA
Xét ΔMAB có
MN,AH là các đường cao
MN cắt AH tại N
Do đó: N là trực tâm của ΔMAB
=>BN\(\perp\)AM tại E
Xét ΔNEA vuông tại E và ΔNHB vuông tại H có
\(\widehat{ENA}=\widehat{HNB}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔNEA~ΔNHB
=>\(\dfrac{NE}{NH}=\dfrac{NA}{NB}\)
=>\(NE\cdot NB=NA\cdot NH=\dfrac{1}{2}\cdot AH\cdot\dfrac{1}{2}AH=\dfrac{1}{4}AH^2\)
=>\(NB\cdot NE=\dfrac{1}{4}\cdot HD\cdot AC\)
=>\(HD\cdot AC=4\cdot NB\cdot NE\)
