ΔABC vuông tại A
=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)
=>\(BC=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(cm\right)\)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(CH\cdot CB=CA^2\)
=>\(CH\cdot10=8^2=64\)
=>CH=64/10=6,4(cm)
ΔCHA vuông tại H
mà HM là đường trung tuyến
nên \(HM=MC=\dfrac{CA}{2}=4\left(cm\right)\)
Xét ΔCMH có \(cosCHM=\dfrac{HC^2+HM^2-CM^2}{2\cdot HC\cdot HM}=\dfrac{6,4^2+4^2-4^2}{2\cdot6,4\cdot4}=\dfrac{4}{5}\)
=>\(sinCHM=\sqrt{1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^2}=\dfrac{3}{5}\)
Vì tam giác \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), nên theo định lí Pythagoras, ta có:
\[AB^2 + AC^2 = BC^2\]
Thay các giá trị vào, ta có:
\[6^2 + 8^2 = BC^2\]
\[36 + 64 = BC^2\]
\[100 = BC^2\]
\[BC = 10\]
Vậy, \(BC = 10\) cm.
Vì \(M\) là trung điểm của \(AC\), nên \(AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4\) cm.
Vì tam giác \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), nên \(AH\) chính là \(BC\), vậy \(AH = BC = 10\) cm.
Vậy, ta có \(CH = AH - AC = 10 - 8 = 2\) cm.
Để tính \(\sin \angle CHM\), ta cần tính \(\sin \angle MHC\).
Vì \(M\) là trung điểm của \(AC\), nên \(\angle MHC = \angle MHA\).
Vì \(AH = BC = 10\) và \(AM = 4\), nên ta có:
\[\sin \angle MHA = \frac{AM}{AH} = \frac{4}{10} = 0.4\]
Vậy, \(\sin \angle CHM = \sin \angle MHC = 0.4\).
Vì M là trung điểm của AC, nên AM = MC = AC/2 = 8cm/2 = 4cm.
Vì tam giác ABC vuông tại A, ta có BC = √(AC² - AB²) = √(8² - 6²) = √(64 - 36) = √28 cm.
Vì AH là đường cao của tam giác ABC vuông tại A, nên AH ⊥ BC.
Do đó, tam giác AHB cũng là tam giác vuông và có AH = √(AB² - BH²) = √(6² - (√28/2)²) = √(36 - 14) = √22 cm.
Do đó, CH = HC = BC - BH = √28 - √22/2 = (√28 - √22)/2 cm.
Vì tam giác CHM vuông tại H, ta có sin CHM = CM / CH = 4 / ((√28 - √22)/2) = 8 / (√28 - √22).
Vậy, CH = (√28 - √22)/2 cm và sin CHM = 8 / (√28 - √22).
