Question

Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB=6cm, AC=8cm. Các đường phân giác trong và ngoài của góc B cắt đường thẳng AC tại M,N Tính AM, AN

Answer 1

△ABC vuông tại A có:

\(BC^2=AB^2+AC^2\) (định lí Py-ta-go).

\(\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(cm\right)\)

△ABC có: AD, AM lần lượt là đg p/g trong và ngoài.

\(\Rightarrow\dfrac{MA}{MC}=\dfrac{BA}{BC};\dfrac{NA}{NC}=\dfrac{BA}{BC}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{MA}{BA}=\dfrac{MC}{BC}=\dfrac{MA+MC}{BA+BC}=\dfrac{AC}{AB+BC}\\\dfrac{NC}{BC}=\dfrac{NA}{BA}=\dfrac{NC-NA}{BC-BA}=\dfrac{AC}{BC-AB}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MA=\dfrac{AB.AC}{AB+BC}=\dfrac{6.8}{6+10}=3\left(cm\right)\\NA=\dfrac{AB.AC}{BC-AB}=\dfrac{6.8}{10-6}=12\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Answer 2

Xét `\triangle ABC` vuông tại `A` có: `AB^2+AC^2=BC^2`

     `=>6^2+8^2=BC^2=>BC=10(cm)`

Xét `\triangle ABC` có:

  $\bullet$ `AM` là p/g trong của `\hat{B}`

        `=>[MC]/[AM]=[BC]/[AB]` (t/c đường p/g)

        `=>[MC+AM]/[AM]=[BC+AB]/[AB]`

        `=>[AC]/[AM]=[BC+AB]/[AB]`

        `=>8/[AM]=[10+6]/6=>AM=3(cm)`

  $\bullet$ `AN` là đường p/g ngoài của `\hat{B}`

        `=>[AN]/[NC]=[AB]/[BC]` (t/c đường p/g)

        `=>[AN]/[AN+AC]=[AB]/[BC]`

        `=>[AN]/[AN+8]=6/10=>AN=12(cm)`