cho tam giác ABC vuông tại A có AB=9cm,BC=12cm
a) tính độ dài AC
b) đường phân giác CE kẻ EH vuông gócBC chứng minh CA=CH,EH=EA
c) gọi k=AC cắt HE chứng minh tam giác BCK cân và CElà đường trung trực AH
d) chứng minh AE bé hơn EB
e) gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC,BK biết G là giao điểm của KM và CN, chứng minh C,G,E thẳng hàng
a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:
\(AB^2+AC^2=BC^2\)
\(\Leftrightarrow AC^2=BC^2-AB^2=12^2-9^2=63\)
hay \(AC=3\sqrt{7}\left(cm\right)\)
Vậy: \(AC=3\sqrt{7}\left(cm\right)\)
b) Xét ΔCAE vuông tại A và ΔCHE vuông tại H có
CE chung
\(\widehat{ACE}=\widehat{HCE}\)(CE là tia phân giác của \(\widehat{ACH}\))
Do đó: ΔCAE=ΔCHE(Cạnh huyền-góc nhọn)
Suy ra: CA=CH(hai cạnh tương ứng) và EA=EH(hai cạnh tương ứng)
c) Xét ΔAEK vuông tại A và ΔHEB vuông tại H có
EA=EH(cmt)
\(\widehat{AEK}=\widehat{HEB}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔAEK=ΔHEB(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)
Suy ra: AK=HB(Hai cạnh tương ứng)
Ta có: CA+AK=CK(A nằm giữa C và K)
CH+HB=CB(H nằm giữa C và B)
mà CA=CH(cmt)
và AK=HB(cmt)
nên CK=CB
Xét ΔCKB có CK=CB(cmt)
nên ΔCKB cân tại C(Định nghĩa tam giác cân)
Ta có: CA=CH(cmt)
nên C nằm trên đường trung trực của AH(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: EA=EH(cmt)
nên E nằm trên đường trung trực của AH(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Từ (1) và (2) suy ra CE là đường trung trực của AH(Đpcm)
d) Ta có: EA=EH(cmt)
mà EH<EB(ΔEHB vuông tại H có EB là cạnh huyền)
nên EA<EB(Đpcm)
e) Ta có: ΔEAK=ΔEHB(cmt)
nên EK=EB(hai cạnh tương ứng)
Ta có: CK=CB(cmt)
nên C nằm trên đường trung trực của KB(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)
Ta có: EK=EB(cmt)
nên E nằm trên đường trung trực của KB(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(4)
Ta có: NK=NB(N là trung điểm của BK)
nên N nằm trên đường trung trực của KB(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(5)
Từ (3), (4) và (5) suy ra C,E,N thẳng hàng
mà C,G,N thẳng hàng(cmt)
nên C,G,E thẳng hàng(Đpcm)
