Question

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Từ B kẻ tia Bx  AB, tia Bx cắt tia AH tại K.
1) Tứ giác ABKC là hình gì? Tại sao? 2) CMR: AB.AC = AK.CH
3) CMR: AH^2 = HB.HC
4) Giả sử BH = 9 cm, HC = 16 cm. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.

Answer 1

1: Ta có: BK\(\perp\)AB

AB\(\perp\)AC

Do đó: BK//AC

Xét tứ giác ABKC có BK//AC

nên ABKC là hình thang

Hình thang ABKC có \(\widehat{BAC}=90^0\)

nên ABKC là hình thang vuông

2: Xét ΔBAK vuông tại B và ΔHCA vuông tại H có

\(\widehat{BAK}=\widehat{HCA}\left(=90^0-\widehat{CBA}\right)\)

Do đó: ΔBAK~ΔHCA

=>\(\dfrac{BA}{HC}=\dfrac{AK}{CA}\)

=>\(BA\cdot AC=AK\cdot CH\)

3: Xét ΔHAB vuông tại H và ΔHCA vuông tại H có

\(\widehat{HAB}=\widehat{HCA}\left(=90^0-\widehat{HBA}\right)\)

Do đó: ΔHAB~ΔHCA

=>\(\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{HB}{HA}\)

=>\(HA^2=HB\cdot HC\)

4: BC=BH+CH=9+16=25(cm)

\(AH^2=HB\cdot HC\)

=>\(AH=\sqrt{9\cdot16}=12\left(cm\right)\)

ΔAHB vuông tại H

=>\(HA^2+HB^2=AB^2\)

=>\(AB=\sqrt{9^2+12^2}=15\left(cm\right)\)

ΔAHC vuông tại H

=>\(HA^2+HC^2=AC^2\)

=>\(AC=\sqrt{16^2+12^2}=20\left(cm\right)\)

Chu vi tam giác ABC là:

15+20+25=60(cm)

Diện tích tam giác ABC là:

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\dfrac{1}{2}\cdot20\cdot15=150\left(cm^2\right)\)