Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AE. Kẻ BD là phân giác của góc ABC (D thuộc AC), gọi F là giao điểm của AE và BD.
1) Chứng minh: tam giác ABC đồng dạng với tam giác EAC
2) Chứng minh: BD.EF = BF.AD và tam giác ADF cân
3) Từ B kẻ đường vuông góc với BD cắt CA tại K. Chứng minh: KA/KC= FE/AD
1: Xét ΔABC vuông tại A và ΔEAC vuông tại E có
\(\widehat{ACB}\) chung
Do đó: ΔABC~ΔEAC
2: Xét ΔBEF vuông tại E và ΔBAD vuông tại A có
\(\widehat{EBF}=\widehat{ABD}\)
Do đó: ΔBEF~ΔBAD
=>\(\dfrac{EF}{AD}=\dfrac{BF}{BD}\)
=>\(EF\cdot BD=BF\cdot AD\)
ΔBEF~ΔBAD
=>\(\widehat{BFE}=\widehat{BDA}\)
mà \(\widehat{BFE}=\widehat{AFD}\)(hai góc đối đỉnh)
nên \(\widehat{AFD}=\widehat{ADF}\)
=>ΔADF cân tại A
3: Vì BD\(\perp\)BK
mà BD là phân giác trong
nên BK là phân giác ngoài tại đỉnh B của ΔABC
Xét ΔBAC có BK là phân giác ngoài
nên \(\dfrac{KA}{KC}=\dfrac{BA}{BC}\)
mà \(\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{AD}{CD}\)
nên \(\dfrac{KA}{KC}=\dfrac{AD}{CD}\)
=>\(\dfrac{KA}{KC}=\dfrac{AF}{CD}\)
Xét ΔBEA vuông tại E và ΔBAC vuông tại A có
\(\widehat{EBA}\) chung
Do đó: ΔBEA~ΔBAC
=>\(\dfrac{BE}{BA}=\dfrac{BA}{BC}\)
mà \(\dfrac{BE}{BA}=\dfrac{FE}{AF};\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{AD}{DC}\)
nên \(\dfrac{FE}{AF}=\dfrac{AD}{DC}\)
=>\(\dfrac{FE}{AD}=\dfrac{AF}{DC}\)
=>\(\dfrac{KA}{KC}=\dfrac{FE}{AD}\)
