+) Kẻ trung tuyến AM (M thuộc BC), trên AM lấy trọng tâm G của tam giác ABC,N là trung điểm AG, kẻ đường thẳng d đi qua G cắt các cạnh AC và AB. Lấy N',M' lần lượt là hình chiếu của N và M trên d.
+)Ta có: CC'//AA'//NN'//MM'//BB'( vì cùng vuông góc với d)
Vì G là trọng tâm tam giác ABC=>GM=1/2.AG (1)
Lại có N là trung điểm AG (cách dựng) =>AN=NG=1/2AG (2)
Từ (1) và (2)=>AN=NG=GM(=1/2.AG)
Xét tam giác NGN' và tam giác MGM' có: góc NN'G=góc MM'G (=90độ) ; NG=MG (C/m trên) ; gócNGN'= góc MGM' (2 góc đối đỉnh)
=>tam giác NGN'= tam giác MGM' (cạnh huyền-góc nhọn) =>NN'=MM' (2 cạnh tương ứng)
Xét tam giác AA'G có: N là trung điểm AG,NN'//AA' (C/m trên)=> N' là trung điểm A'G=>NN' là đường trung bình của tam giác AA'G
=>NN'=1/2.AA' (tính chất đường TB của tam giác), hay MM' =1/2.AA' =>2MM'=AA' (*)
Xét tứ giác CC'B'B có CC'//BB'=> Tư giác CC'B'B là 1 hình thang. Lại có M là trung điểm của BC,MM'//CC'//BB' (C/m trên)
=>M' là trung điểm B'C'=> MM' là đường trung bình của hình thang CC'B'B=>MM'=1/2.(BB'+CC')=>2MM'=BB'+CC'
Từ (*)=>2MM'=BB'+CC'=AA' . Vậy AA'=BB'+CC'
