Question

Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB, BC, CD lâý lần lượt các điểm D, , F sao cho AD = \(\dfrac{1}{4}\)AB, BE = \(\dfrac{1}{4}\)BC, CF = \(\dfrac{1}{4}\)CA. Tính diện tích tam giác DÈF, biết rằng diện tích tam giác ABC bằng a^2

Answer 1

Ta có: \(BE=\frac14BC\)

=>\(S_{AEB}=\frac14\cdot S_{ABC}\)

Ta có: AD+BD=AB

=>\(BD=AB-AD=AB-\frac14AB=\frac34BA\)

=>\(S_{BDE}=\frac34\cdot S_{BDA}=\frac34\cdot\frac14\cdot S_{ABC}=\frac{3}{16}\cdot S_{ABC}\)

Ta có: \(BE+CE=BC\)

=>\(CE=BC-BE=BC-\frac14BC=\frac34BC\)

=>\(S_{AEC}=\frac34\cdot S_{ABC}\)

Vì \(CF=\frac14CA\)

nên \(S_{CFE}=\frac14\cdot S_{AEC}=\frac14\cdot\frac34\cdot S_{ABC}=\frac{3}{16}\cdot S_{ABC}\)

TA có: AF+FC=AC

=>\(AF=AC-CF=AC-\frac14AC=\frac34AC\)

=>\(S_{BFA}=\frac34\cdot S_{BCA}\)

Vì \(AD=\frac14AB\)

nên \(S_{ADF}=\frac14\cdot S_{ABF}=\frac14\cdot\frac34\cdot S_{ABC}=\frac{3}{16}\cdot S_{ABC}\)

Ta có: \(S_{ADF}+S_{CFE}+S_{BDE}+S_{DEF}=S_{ABC}\)

=>\(S_{DEF}=S_{ABC}\left(1-\frac{3}{16}-\frac{3}{16}-\frac{3}{16}\right)=\frac{7}{16}\cdot S_{ABC}=\frac{7}{16}a^2\)