Question

Cho tam giác ABC. Tìm điểm K trên BC sao cho độ dài \(\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}\) bé nhất

Answer 1

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Đặt \(A=\left|\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}\right|\)

\(A=\left|\left(\overrightarrow{KG}+\overrightarrow{GA}\right)+\left(\overrightarrow{KG}+\overrightarrow{GB}\right)+\left(\overrightarrow{KG}+\overrightarrow{GC}\right)\right|\)

\(A=\left|3\overrightarrow{KG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right|=\left|3\overrightarrow{KG}\right|\)

\(A=3\left|\overrightarrow{KG}\right|\)

A nhỏ nhất khi \(\left|\overrightarrow{KG}\right|\) nhỏ nhất \(\Rightarrow KG\) nhỏ nhất

\(\Rightarrow K\) là hình chiếu vuông góc của trọng tâm G lên cạnh BC