Question

Cho tam giác ABC nhọn. Kẻ ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I, K, L lần lượt là trung điểm của ba cạnh AB, BC, AC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của HA, HB, HC.

a, Chứng minh 4 điểm B, F, H, D cùng thuộc một đường
tròn.
b, Chứng minh 4 điểm I, N, P, L cùng thuộc một đường
tròn.

Answer 1

a: ta có: \(\widehat{BFH}=\widehat{BDH}=90^0\)

=>B,F,H,D cùng thuộc đường tròn đường kính BH

b: Xét ΔABC có

I,L lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>IL là đường trung bình của ΔABC

=>IL//BC và \(IL=\dfrac{BC}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔHBC có

N,P lần lượt là trung điểm của HB,HC

=>NP là đường trung bình của ΔHBC

=>NP//BC và \(NP=\dfrac{BC}{2}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra IL//NP và IL=NP

Xét ΔHBA có

I,N lần lượt là trung điểm của BA,BH

=>IN là đường trung bình của ΔHBA

=>IN//HA

mà HA\(\perp\)BC

nên IN\(\perp\)BC

mà NP//BC

nên IN\(\perp\)NP

Xét tứ giác ILPN có

IL//PN

IL=PN

Do đó: ILPN là hình bình hành

Hình bình hành ILPN có \(\widehat{INP}=90^0\)

nên ILPN là hình chữ nhật

=>I,L,P,N cùng thuộc đường tròn đường kính IP